此次有幸参加浙江省小学数学新课程第九次（五年级上册）培训真是受益匪浅。聆听了三堂“五上”的观摩课和人民教育出版社小学数学室“五上”教材的责任编辑熊华对人教版“五上”教材的分析，让我对新课程“五上”教材有了较全面的了解。倾听了杭州下城区（实验区）教育研究发展中心汪和庆老师对本册教材的使用体会，汪老师的讲座以案例说话，非常值得我们一线的教师借鉴，感触很深。
……

《小学数学三年级下册期中教学检测题》第五部分解决问题第2题是这样一道题：

“本学期上课在约有17周，每周上课5天，除去节期日放假5天。这学期大约上课多少天？”本题一般的解答方法：17×５－5=80(天)。但学生解答中出了９５、８５、７５、１００、１６０等千奇百怪的结果。这到底是什么原因呢？

　　我们先来看一下学生的解答过程：

（一）17×5≈100    100－5=95

（二）17×5=85      85－5≈85

（三）17－1=16      16×5≈75

（四）17－1=16      16×5≈100

（五）5天=1周      17－1=16    16×5≈160

“一、二”的解题思路相同：先求出１７周多少天，再减去放假的５天；“三、四、五”的解题思路：放假５假天相当于少１周，先减掉１周再乘５天。显然这两种解题思路都是正确的，而且可以看出用后一种解题思路的学生方法灵活，思维也一定不错。那这些学生为什么会解出如此离奇的答案呢？

　　问题就出现在计算上。第一种算法“17×5≈100  100－5=95”，显然这位学生在第一步计算时把“17估成20”，２０乘５等于１００；第二种算法“17×5=85  85－5≈85”，这位学生在第二步把““85估成90”，９０减５还是等于８５；第三种算法 “17－1=16  16×5≈75”，学生把“16估成15”，１５乘５等于７５；第四种算法“17－1=16 　16×5≈100”，学生把“16估成20”，２０乘５就等于了１００；第五种算法“17－1=16  16×5≈160”，我想这位学生是把“把5估成10”，１６乘１０就等于１６０了。

如果不是亲眼所见，真的很难想象。而且像这样由于估算的原因出现错误的学生还为数不少。我询问了出现这类错误的学生“为什么你这样计算？”，学生的回答很简单“题目问题是问这学期大约上课多少天？，问大约我就用估算了”。

原来都是估算惹的“祸”。

“问大约就要用估算”学生怎么会这样想呢？原因在学生？在教材？还是在教学？

翻开义务教育课程标准实验教科书《小学数学》三年级下册教师用书。

在《除数是一位数的除法》教学目标中有这样一条“使学生能在具体的情境中进行除法估算，会表达估算的思路，形成估算的习惯”。

在《两位数乘两位数》教学目标中也有一条“使学生能结合具体情境进行乘法估算，并解释估算的过程”。教学建议中提到“加强估算，鼓励算法多样化。估算是《标准》中要加强的计算教学内容。……特别值得强调的是，估算意识和能力需要逐步培养。这就要求教师有意识、有计划地给学生提供估算的机会，让学生运用估算解决简单的实际问题，运用估算检查计算结果，让学生在实践中体会学习估算的必要性，逐步形成估算的意识，逐步提高估算能力。另外，教学中要注意处理好口算、估算、笔算三者之间的关系。要做到三算互相促进，达成共同提高的目标。更要鼓励学生运用不同的方法解决问题，并通过比较、交流，知道什么时候选择什么方法进行计算更合理。这样，可以培养学生“能为解决问题选择适当的算法”的能力，从而发展学生的数感。”

以上可以看出新课程标准确实加强了估算，同时也非常强调估算要结合具体情境进行教学，培养估算的意识和估算能力。也非常明确的指出“能为解决问题选择适当的算法”。

备课是课堂教学的第一步，它的重要性也无须多说。今天我拿到的是数学第十册《能被3整除的数的特征》，在备课过程中引发了我这样的思考。

“为什么能被3整除的数具有这样的特征？”这是学生学习了“能被3整除的数的特征后难免会产生的疑问。（因为，前面能被2、5整除的数的特征都是看个位的；而能被3整除的数的特征却要看“一个数的各个数位上的数的和能否被3整除”。）面对学生这样的质疑，我可以敷衍学生说：“这个道理比较深奥，我们以后再讨论。”扪心自问，这样可以哄骗过学生，但能骗过自己吗？

实际上我们在教学过程中，经常会碰到学生类似的质疑。有些问题对小学生确实不需要讲清楚，有时对学生也讲不清楚。但作为教师需不需要了解呢？俗语说“站得高，看得远。”我们教育学生学习知识“要知其然，更要知其所以然”，作为教师更应该这样做。

通过查阅有关书籍，我了解了相关知识（因为10除以3余数是1、100除以3余数是1、1000除以3余数也是1……，而自然数根据位值原则可以都可以分成“几加几十加几百加几千……”，例：4235=4000+200+30+5，那么4000除以3余4个1、200除以3余2个1……，所以，能被3整除的数的特征只要看“一个数的各个数位上的数的和能否被3整除” ），心里踏实多了。如果教学过程中有思维活跃的学生提出这样的质疑，我能给他们满意的答复了（可以在课余个别辅导）。这样不至以扼杀了学生对学习数学的好奇心，有利于培养学生质疑问难的习惯。这不正是因材施教吗？同时，通过对相关知识的了解，让我对教材有了更深刻的认识。教材中讨论能被3整除的数的特征时采用的是不完全枚举法，严格得说并不能充分说明问题，这也正是学生会提出质疑的地方。但这样编排也不无道理，要使学生容易接受，面向全体学生，这样教学也是比较合适的。

其实类似的问题有很多，如：教学《年月日》这课时，学生经常会问“为什么每四年一个闰年？” “为什么判断整百年是否闰年时要除以400”试问你能给学生一个满意的答复吗？

“8χ+16=5χ+25”这道方程小学六年级的学生解起来难吗？……

我拿这题在六年级的一个班进行了测试，结果全班56个学生，解对的同学只有12人，占全班人数的21.4%。为了进一步了解学生解答的过程，我分别问了解答正确的学生是怎么想的？其中有4人说不清想法，其他8位学生有以下几种情况：

想法一：用四则运算各部分关系来解。即把 “8χ”看成加数、等式右边“5χ+25”看成和，运用“加数=和-另一个加数”得到“8χ=5χ+25-16”，逐步解答。(有1人，解答过程如下)

8χ+16=5χ+25

解：8χ=5χ+25-16

8χ=5χ+9

3χ=9

χ=3

想法二：运用等式的性质来解。即先在方程的两边同时减“16”，得“8χ=5χ+25-16”，再在方程两为同时减“5χ”，得“8χ-5χ= 25-16”，逐步解答。(有2人，解答过程如下)

8χ+16=5χ+25

解：8χ+16-16=5χ+25-16

8χ=5χ+25-16

8χ-5χ=5χ＋25-16-5χ

8χ-5χ= 25-16

3χ=9

χ=3

   (注：一位学生有“下划线”步骤没写)

想法三：从等式左边移到右边要变号。我追问他“为什么要变号”，他说“不知道，是爸爸这样教他的”。（有1人，过程与想法二类似）

想法四：等式两边是相等的，8χ比5χ多的就是16比25少的，所以“8χ-3χ”就应该等于“25-16”。（有4人，解答过程如下）

8χ+16=5χ+25

解：χ=（25-16）÷（8-5）

χ= 29÷3

χ=3

对于这样的测试结果，不知是否让读者们意外？

那么这道方程对于我们学生到底难在哪里呢？不妨先听听我们学生测试后的一些“感慨”：“这道方程有两个χ”、“χ在等号的两边”、“没有做过这样的题目”、“无处入手”……。再来分析以上“有处入手”的学生的四种想法。“想法一”这位学生还是利用四则运算各部分间的关系来解，这样想比较难，首先要会把“8χ”和“5χ+25”看一个数，得到“8χ=5χ+25-16”后还要“25-16”先算，再运用加法各部分之间的关系解下去。“想法二”这两位学生显然已经掌握了天平原理（等式性质），两位是从数学兴趣班上学到的。“想法三”要变号的算理就是等式的性质，只是他父亲没有向他解释清楚。“想法四”要有较强的比较能力，这四位学生也在数学兴趣班上学过，类似于“盈亏问题”的思考方法——“比较法”。

由些可见，问题不再我们的学生，而在我们老师和教材上。和老师们交流中听到这样的观点“这样的题目考试不会考”。但我们有没有想过，学生不掌握天平原理（等式性质）大大减弱学生的解方程的能力，学生在后继的学习过程中常常会碰到会列方程式而不会解的情况。再想远些，到了初中解较复杂方程或方程组用的又是什么方法。难道到那时再叫初中的老师来补教“等式性质”合理吗？

这样就错过了最佳的教学时机，在教学方程的意义时就应该教天平原理（等式性质）。“含有未知数的等式，叫做方程”，方程的意义在是建立在等式的基础上的，这时教学等式性质是最佳时机。在新课程五年级教材中已加入了等式基本性质（天平保持平衡的原理1：两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍然相等；天平保持平衡的道理2：两边同时乘以或除以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。）

我们对使用浙教版的学生，要补上这上“等式基本性质”这一内容，教会学生能灵活地运用“等式的性质”和“四则运算各部分关系”解方程。

上公开课确实能让我们思考得更多，收获也更多。这次我上了一节公开课“分数百分数应用题的复习”，不能算是一堂成功的课，但引发了我很多的思考。

公开课确定上“分数百分数应用题的复习”后，首先考虑的是教学目标的定位，这堂课要达到什么效果？让学生能正确解答三类分数百分数应用题。

再分析学生，思考这块知识学生哪些类型错误最多？第一类“求一个数是另一个数的百分之几”，如“1999年，我国运动员得世界冠军的项目，技艺6个，比体操多2个，问技巧项目个数比体操多百分之几？”题目条件有所变式，学生错误如“2÷6≈33.3%”等，原因学生解题往往只套用模式，很少考虑百分数的意义。第二类“求一个数的百分之几是多少的应用题”学生一般都会解答，哪怕是稍复杂的也能解决。第三类“已知一个数的百分之几是多少，求这个数的应用题”，如“在爱心义卖活动中， 502班捐款473元，比604班多10%，604班捐款多少元？”学生常常以为“502班比604班多10%，那么604班就比502班少10%”得出473×（1-10%）的解法。再差一点的学生第二类应用题混淆。

分析教材，教材也是分三类，以题组的形式加强求对比练习。就是题目不生活化。

有了以上分析，确实这堂着眼于解决生活中实际问题，改变应用题单一的文字叙述呈现方式。着力于对比练习提高学生解题力上。接着收集了很多题目：（1）一楼皮鞋七五折，一双女鞋原价180元，买这双鞋能优惠多少元？我花165元买了一双男鞋，能得到多少优惠？（2）思考题：东兴商场服装部促销活动，“满300元送100元服装券”，（服装券只限购服装，并不再参加其它优惠）。这样消费者最多能享受几折优惠？……。

一堂课时间有限，题目必须取舍，在此我花了不少精力。但更大的问题是整个课很零碎，几次试教都是这种感觉，到公开课时这个问题还是没有彻底解决然。

公开课后，黄伟老师的一番话让我豁然开朗。他的大致意思就是“你只要把知识整理这部分再进一步的深化，这堂课就很好了”。

是啊！“复习课”不等于是“练习课”，复习课是以巩固知识，使知识系统化为主要任务的课，其目的是“化零为整”，帮助学生进一步提高知识的掌握水平。我一开始教学目标的定位就有偏差。

百分数应用题的教学一直是小学数学教学的难点，更是本学期（十一册）的主要教学内容，整册课本五个单元中四个单元是有关分数百分数应用题的内容。期末复习已经开始，对于教六年级数学老师来说分数百分数应用题的复习无疑是复习的重中之重。

对于分数百分数应用题的复习，我也在校级公开课上尝试过，那次尝试给我最大的感受是“复习课”不等于是“练习课”。我们的复习课常常忽视了这一点，只是让学生一个劲的练习，这和一堂练习课又有什么不同呢？复习课是以巩固知识，使知识系统化为主要任务的课，其目的是“化零为整” 形成完整的认识结构，帮助学生进一步提高知识的掌握水平。

在此次嘉兴、桐乡两级教研员课堂教学调研活动中，沈永惠老师也上“分数百分数应用题的复习”，我听到了一堂真正的“复习课”。课后朱国荣和路茂方两位名师对此课做了详尽的点评。在谈到复习课的作用时，“想把书读薄”朱国荣老师这句朴素话给我留下了很深的印象。让我对分数百分数应用题的复习有了新的认识。

分数百分数应用题复习课的目标定位：

１、知识的梳理。分数百分数应用题分三类：第一类“求一个数是另一个数的百分之几” 、第二类“求一个数的百分之几是多少的应用题” 、第三类“已知一个数的百分之几是多少，求这个数的应用题”，又有简单和复习之分。第一类主要是百分数分数意义的理解学生较易掌握。第二类和第三类是学生容易混淆的，也是复习的重点。

２、沟通联系，用朱老师的说法就是“想把书读薄”。这是我们复习课教学中最欠缺的。分数应用题，通过条件或问题的变化能变出很多的类型，在教材中也常常以题组的形式出示，学生做的“头晕眼花”，我们老师无奈让学生归类。其实，分数应用题新授时是分类教学的，而复习课更重要的任务是沟通各种题型。

如：分数（百分数）意义的复习环节

出示：“本届亚运会的金牌数是上届的1又1/10”

让学生用线段图表示，并说说本届和上届的关系还能怎么表达？如“本届亚运会的金牌数比上届的多1/10”、“上届亚运会的金牌数是本届的10/11”、“上届亚运会的金牌数比本届少的1/11”。让学生体会这四句话其实表达的是同一个意思。

又如：分数（百分数）乘除应用题复习环节

告诉学生本届金牌数165枚，选择上述四句话中的任意一句作为条件求上届金牌数。学生解答后，更重要的是通过数量关系的分析，沟通简单和较复杂这四类应用题。

让学生明白简单和较复杂只是倍数的表述不同，除法应用题只是乘法应用题的逆运算，最后归结到最本原的知识点“求一个数的几分之几是多少，就是求一个数的几倍是多&#